Sumas de cuatro cuadrados y formas modulares

Abstract

Lo que nos proponemos en esta tesis es probar el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange pero no por el camino que siguió Lagrange sino usando formas modulares. Además usando formas modulares no solo se prueba que todo número entero no negativo es suma de cuatro cuadrados sino que se calcula la cantidad de formas que se puede expresar como suma de cuatro cuadrados de enteros incluyendo a los negativos. Pero estamos diciendo que usando formas modulares se pueden calcular más cosas que en la prueba original de Lagrange, pero todavía no sabemos qué es una forma modular, por ello a modo introductorio diremos que una forma modular es una función holomorfa del serniplano complejo superior que cumple una relación de invarianza por la acción de un grupo que ya precisaremos más adelante y que además es holomorfa en el ∞. Es por ello que el lugar natural de estudio de las formas modulares es el análisis complejo pero debido a la gran cantidad de aplicaciones a la teoría de números es aquí donde se estudia con mayor dedicación y en los últimos años ha tenido un desarrollo impresionante. El estudio de las formas modulares comenzó en los inicios del siglo XVIII aunque por estos años no se conocía con este nombre.