Estabilidad de equilibrios singulares en ecuaciones diferenciales cuasilineales implícitas

Abstract

Nuestro objetivo es investigar el comportamiento local de las ecuaciones diferenciales implícitas cuasilineales alrededor de equilibrios singulares del sistema. Específicamente, analizaremos la caracterización local de la dinámica alrededor de equilibrios singulares a través de un campo vectorial continuo o direccionalmente continuo. Este estudio motivará la clasificación de ceros singulares (más generalmente, singularidades geométricas) en débiles y fuertes. La estabilidad en el caso débil y fuerte se analizará a través de ecuaciones matriciales singulares. El trabajo esta organizado como sigue: en la sección 2 se establecen algunas definiciones, conceptos y notaciones que usaremos a lo largo del trabajo. En la sección 3 se clasifican las singularidades en débiles y fuertes, de modo tal de poder definir un campo vectorial h continuo ó direccionalmente continuo, según el caso. También se establecen condiciones necesarias y suficientes para que la extensión del campo definido anteriormente presente un punto de equilibrio en la singularidad. En la sección 4 se introduce una condición necesaria para la existencia de un equilibrio singular no-crítico que involucra al campo h citado antes, se trata en este caso de un equilibrio singular definido en forma continua. En la sección 5 se estudia la estabilidad del equilibrio singular débil, sobre la base de un enfoque análogo pero singular de la ecuación matricial de Lyapunov. En la sección 6 se estudia la estabilidad del equilibrio singular fuerte y se prueba la estabilidad asintótica direccional con un dominio de atracción localmente cónico. Finalmente, en la sección 7 se establecen las conclusiones.