Extensiones de álgebras de Lie en el marco de la geometría simpléctica

Abstract

Las extensiones centrales de álgebras de Lie fueron consideradas en Mecánica Clásica antes de que se descubriera el rol que juegan algunas de ellas, las de álgebras de Kac - Moody y de Virasoro, por ejemplo, en teorías cuánticas de campos en dos dimensiones espacio - temporales en relación con los "términos de Schwinger" que surgen de los conmutadores de su álgebra de corrientes. La importancia de extensiones no centrales como la de Mickelson - Fadeev, por ejemplo, fue en cambio detectada en teorías cuánticas de campos en cuatro dimensiones para posteriormente ser consideradas en el marco de la Mecánica Clásica. El objetivo de este trabajo es analizar algunos aspectos de la emergencia de extensiones centrales y no centrales en Mecánica Cásica en el contexto de la Geometría Simpléctica y de su relación con las mencionadas teorías cuánticas. Un bien conocido resultado del enfoque simpléctico de la Mecánica Clásica es que el corchete de Poisson de momentos asociados a una acción simpléctica no Ad*-equivariante de un grupo de Lie G sobre una variedad simpléctica (Af, cu) define una extensión central no trivial del álgebra Lie(G). Construcciones más generales en el mismo marco han sido propuestas para el caso de acciones no necesariamente simplécticas. En particular, la llevada a cabo por Cariñena e Ibort en [2] permite definir extensiones más generales de Lie(G) a partir de ecuaciones del descenso construidas mediante técnicas simplécticas. Con hipótesis no demasiado restrictivas, el método allí propuesto da lugar a extensiones, no necesariamente centrales, de Lie(G) módulo cocade- nas a valores en las funciones constantes. Resultados similares fueron obtenidos en [4]. En este trabajo demostraremos, en primer término, que tal construcción da lugar, en realidad, a extensiones de Lie(G) asociadas a 2-cociclos equivalentes a los canónicamente definidos por la acción del grupo G. En efecto, veremos que la necesidad de definirlas módulo las mencionadas cocadenas sólo se debe a las técnicas de demostración utilizadas en [2] y [4]. Nos proponemos, además, mostrar cómo estos resultados permiten analizar los términos de Schwinger de teorías cuánticas en un contexto simpléctico. Así mismo, para extensiones centrales, analizaremos las órbitas coadjuntas de extensión central pura y el por qué de su particular relevancia en la construcción de acciones físicas. La exposición está organizada de la siguiente manera: en el segundo capítulo recordaremos algunos conceptos y resultados de la Geometría Simpléctica que serán utilizados posteriormente y haremos una reseña de la construcción de Cariñena e Ibort. En el capítulo 3 demostraremos que la construcción de [2] da lugar a una extensión de Lie(G) asociada a un 2-cociclo cohomólogo a uno canónicamente definido por la acción de (7, consideraremos el caso particular en el cual la variedad simpéctica (M, ω) es (TQ,ωL), donde TQ es el espacio de velocidades de una variedad diferenciable Q y es el pullback por la transformada de Legendre de la estructura simpléctica canónica sobre TQ*, y analizaremos los términos de Schwinger de teorías cuánticas en el contexto que venimos considerando. En el capítulo 4 consideraremos extensiones centrales y, en atención a la relevancia en Física de las órbitas coadjuntas de extensión central pura, analizaremos las propiedades de su estructura simpléctica canónica que las distinguen de las demás órbitas.