El teorema de foliación simpléctica y la grassmanniana restringida

Abstract

Los contenidos de este trabajo son los siguientes. En la sección 2 comenzamos repasando las definiciones de variedades simplécticas y variedades de Poisson en dimensión infinita. Introducimos la distribución característica, y probamos el teorema de foliación simpléctica. Para dar parte de su demostración antes probamos el teorema de Stefan-Sussmann que caracteriza la integrabilidad de distribuciones singulares. En la sección 3 introducimos los espacios de Poisson en dimensión infinita, y en particular caracterizamos los espacios de Banach Lie-Poisson. Definimos la noción de hojas simplécticas, dando un método general para construirlas. La sección 4 trata de la Grassmanniana restringida. Probamos varias propiedades básicas de esta Grassmanniana, incluyendo diversas caracterizaciones y su estructura de variedad de Banach. En la sección 5 construimos un espacio de Banach Lie-Poisson donde la Grassmanniana restringida es una hoja simpléctica. Aquí resulta de importancia notar que la Grassmanniana restringida se puede caracterizar como una órbita coadjunta por una acción afín.