La ley funcional del logaritmo iterado de Strassen-Deheuvels-Lifshits para el movimiento browniano

Abstract

Esta subsección está destinada a presentar las herramientas necesarias para el enunciado y demostración de la ley funcional del logaritmo iterado para el movimiento browniano, dada por Deheuvels y Lifshits en 1994 [Jeheuvels 1994]. Se presuponen algunos resultados básicos de la teoría de la medida, de probabilidades y del análisis funcional; por lo demás, se intenta lograr la mayor autocontención posible, enunciando y probando la mayor parte de los ingredientes básicos y remitiendo al lector a la bibliografía pertinente en aquellos pocos (pero importantes) casos en que los resultados simplemente son enunciados. Las subsecciones 1.2. y 1.3. están dedicadas a la presentación del movimiento browniano útil a nuestros nuestros fines. Primero, se sitúa el movimiento browniano en el contexto de los procesos estocásticos con parámetro real y se lo define formalmente. Luego, se procede a dar una construcción del mismo a partir de una base ortonormal de L2 [0,1]. En la sección 1.4. se especifica una base ortonormal particular, aquella que se emplea en la prueba del Lema 37, de la sección 2, y se aborda la continuidad Hólder de las trayectorias del movimiento browniano. En la sección 1.5. se definine la noción de integral de Bochner y se estudian sus propiedades; esta es una herramienta útil para las secciones subsiguientes. En 1.6. se estudian las medidas gaussianas sobre un espacio de Banach separable. Se ven varias propiedades relativas a la función de covarianza y el soporte de las mismas; también se define la noción de funcional característica de una medida en un Banach separable y se las calcula para las medidas gaussianas. La sección 1.7. está dedicada al espacio de Hilbert asociado a una medida gaussiana (”reproducing kernel Hilbert space”) sobre un Banach separable. Se estudia en particular el caso en que el espacio es Co [0, 1], el espacio de las funciones continuas sobre el intervalo unitario con valores en R que se anulan en el origen, y la medida es la medida de Wiener. Además, se enuncian y prueban la fórmula de Cameron-Martin y la compacidad, con respecto a la topología uniforme, de la bola unitaria del espacio de Hilbert asociado a la medida de Wiener. Finalmente, se dedica la sección 1.8. a enunciar (sin demostrar) la desigualdad isoperimétrica de Borel y a dar consecuencias útiles de la misma. Esta desigualdad es esencial para la demostración de [Deheuvels 1994].