Regularización del modelo para problemas inversos en exploración sísmica

Abstract

La sı́smica de exploración permite caracterizar el subsuelo utilizando mediciones usual mente adquiridas en superficie. Las propiedades fı́sicas del medio se pueden inferir a partir de los efectos sobre los datos observados. Tal estrategia en ciencia se conoce como resolución del problema inverso. El problema inverso se puede plantear como un problema de optimización en el que se determinan los parámetros que minimizan cierta función de costo. Muchos de los problemas inversos que se presentan en sı́smica de exploración o bien son lineales, o bien pueden ser estudiados mediante una aproximación lineal. Para que un problema inverso esté bien definido, deben cumplirse tres condiciones: que la solución exista, que sea única, y que cambie en forma continua con los parámetros del modelo (i.e., que sea estable). Desafortunadamente, estas condiciones no se cumplen simultáneamente en ningún caso. En general, las soluciones buscadas no son únicas y/o son inestables. Esto conlleva a que el modelo a invertir deba ser regularizado. La regularización puede ser explı́cita o implı́cita. La primera se logra introduciendo un término de penalización sobre la función de costo. La segunda se puede alcanzar por detención temprana de los algoritmos iterativos, descartando outliers, o bien utilizando algoritmos voraces (greedy) más modernos. Aquı́ se presentan ejemplos de estas últimas técnicas a partir de la transformada de Radon.en forma continua con los parámetros del modelo (i.e., que sea estable). Desafortunadamente, estas condiciones no se cumplen simultáneamente en ningún caso. En general, las soluciones buscadas no son únicas y/o son inestables. Esto conlleva a que el modelo a invertir deba ser regularizado. La regularización puede ser explícita o implícita. La primera se logra introduciendo un término de penalización sobre la función de costo. La segunda se puede alcanzar por detención temprana de los algoritmos iterativos, descartando outliers, o bien utilizando algoritmos voraces (greedy) más modernos. Aquí se presentan ejemplos de estas últimas técnicas a partir de la transformada de Radon.

Exploration geophysics allows us to characterize the subsurface using measurements typically acquired at the surface. The physical properties of the medium can be inferred from the effects observed in the data. This approach in science is known as solving an inverse problem. The inverse problem can be formulated as an optimization problem, where parameters are determined to minimize a specific cost function. Many inverse problems in exploration geophysics are either linear or can be studied through a linear approximation. For an inverse problem to be well-posed, three conditions must be met: the solution must exist, it must be unique, and it should vary continuously with the model parameters (i.e., it should be stable). Unfortunately, these conditions are never all satisfied simultaneously. Generally, the solutions sought are either non-unique and/or unstable, which means the model to be inverted must be regularized. Regularization can be explicit or implicit. The former is achieved by introducing a penalty term in the cost function. The latter can be achieved by early stopping of iterative algorithms, discarding outliers, or using more modern greedy algorithms. Examples of these latter techniques are presented here using the Radon transform.