Interacción de resonancias y transición al caos en un modelo dinámico simple

Abstract

El presente trabajo tiene por objeto aplicar las herramientas de la dinámica no lineal para describir y comprender la transición al caos en un sistema dinámico simple. Tomando el modelo 3D estudiado por Cincotta et al. (3) y Giordano & Cincotta (5), que consta de tres osciladores cuárticos más una perturbación que acopla los grados de libertad, aquí lo que se analiza es la reducción de dicho modelo a 2D para determinar analíticamente el valor crítico del parámetro de perturbación para el cual ocurre la transición al caos global. Si bien se trata de un modelo no lineal simple y poco representativo de un sistema real de interés en la astronomía dinámica, existen procesos dinámicos en el espacio de fases que son comunes a todos aquellos sistemas hamiltonianos en los cuales la variedad determinada por H(p, q) = h - superfice de energía - es compacta. Partiendo de un modelo integrable, cuya dinámica es completamente regular ya que el espacio de fases se encuentra totalmente foliado por toros invariantes, lo que se analiza detalladamente en este trabajo es la aparición de resonancias de diversos órdenes al introducir una perturbación que rompe la integrabilidad del sistema. Aún cuando la dinámica de los sistemas no lineales con hasta dos grados de libertad se encuentra bien descripta en términos generales por la teoría KAM, es de interés estudiar cómo a partir de la interacción de resonancias en un modelo particular, los toros invariantes van destruyéndose dando lugar a una dinámica caótica localizada, para luego estimar una cota para la perturbación por encima de la cual ocurre la transición al caos global. Debido a que se trata de un sistema 2D el mecanismo responsable de tal transición es el overlap de resonancias (ver por ejemplo, Chirikov (1), Cincotta (2)). En el presente trabajo se resumen las herramientas analíticas necesarias para el estudio propuesto, luego se introduce el modelo a estudiar, se determinan las resonancias a diversos órdenes y se estima analíticamente el valor del parámetro de perturbación para el cual ocurre la transición al caos global. Este valor es luego contrastado con experimentos numéricos mediante la construcción de superficies de sección. Finalmente se lo contrasta con el valor obtenido empíricamente por Giordano & Cincotta (5) para el modelo 3D.