Separabilidad y operadores conservados en sistemas cuánticos

Abstract

En esta Tesis se desarrollan metodologías para determinar y analizar en profundidad el fenómeno de factorización exacta de autoestados de Hamiltonianos de sistemas cuánticos de muchos cuerpos fuertemente interactuantes. Esta factorización comprende tanto el caso de autoestados que son producto de estados de componentes primarios, como aquél en el que son producto de estados de pares (dimerización) o grupos de componentes (clústers). El tema es relevante en varias áreas de gran interés actual. En primer lugar se derivan condiciones necesarias y suficientes generales para que un Hamiltoniano de un sistema interactuante posea un autoestado exacto factorizado, expresadas en forma de ecuaciones de autovalores especiales. El formalismo es aplicado a un sistema de interacción general de N componentes, cada uno con n niveles accesibles localmente, de modo que el Hamiltoniano puede expresarse en términos de operadores que satisfacen un álgebra U(n). Para n=2, es equivalente a un sistema de espines 1/2 con acoplamientos tipo XYZ en un campo magnético. Se determinan puntos de factorización, mostrando que corresponden a un punto de degeneración excepcional, y se examinan las propiedades críticas del entrelazamiento en su entorno. Posteriormente, se muestra que las condiciones de factorización pueden expresarse en términos de la matriz de covarianza cuántica de los operadores locales que componen el Hamiltoniano. El formalismo requiere solo valores medios locales y resulta adecuado para sistemas y factorizaciones generales. Pone de manifiesto el rol esencial de la existencia de operadores locales conservados para una separabilidad exacta, ya sea total o parcial. El método permite derivar las condiciones para la existencia de diversos tipos de factorización exacta de autoestados en sistemas de espines interactuantes. En particular, se derivan las condiciones más generales para la factorización en dímeros y clústers de espín 0, solo conocidas en algunos casos especiales. Luego se extienden los resultados a dimerización exacta en singletes generalizados, que son estados de pares que no están máximamente entrelazados, con propiedades únicas en relación a operadores conservados. Se muestra que permiten la dimerización exacta inducida por campo en sistemas anisotrópicos XYZ para espín arbitrario. Se brindan ejemplos específicos, incluyendo la extensión a campo magnético no nulo del modelo de Majumdar-Ghosh. Finalmente, se examina la factorización en sistemas de componentes indistinguibles. Siguiendo el esquema basado en operadores conservados, se caracterizaron los estados llamados condensados de pares, tanto fermiónicos como bosónicos, que pueden considerarse "uniformemente separables'' a nivel de par. Se muestra que están completamente caracterizados por un número fijo de operadores de un cuerpo exactamente conservados. A partir de este resultado se obtiene el Hamiltoniano de dos cuerpos más general que posee el condensado de pares como autoestado exacto, junto con una clase que lo tiene como estado fundamental no degenerado. Mediante el formalismo anterior se determina también una condición necesaria y suficiente para asegurar que un estado dado sea un condensado de par exacto, que permite además su reconstrucción exacta. Proporciona también una medida simple de la proximidad de un estado dado a un condensado de par, junto con una "mejor'' aproximación de condensado de par al estado. Se muestran resultados ilustrativos.