Thinness 2 condicionada a órdenes de co-bipartición

Abstract

En este trabajo nos enfocamos en la caracterización por patrones prohibidos de las clases de grafos definidas por su thinness, un parámetro de ancho definido por Mannino, Oriolo, Ricci y Chandran. Concretamente, trabajamos en la caracterización por patrones prohibidos minimales de la clase de grafos co-bipartitos 2-thin condicionados. Para llegar a dicha caracterización definimos, en este trabajo, los conceptos de orden bisagra y representación 2-thin condicionada. El primer concepto define un ordenamiento de los vértices a partir de su orden y partición 2-thin; y el segundo define restricciones en dicho orden. Logramos identificar una propiedad general para grafos con thinness a lo sumo 2 con la cual probamos que, dado un orden bisagra asociado a una representación 2-thin, definir dos clases partiendo ese orden en cualquier punto que para la primera clase defina un orden canónico de intervalos y para la segunda clase el reverso de un tal orden, produce otra representación 2-thin cuyo orden bisagra es el mismo. Con dicho resultado probamos que, dado un grafo co-bipartito 2-thin condicionado, existe una representación 2-thin del grafo con orden bisagra condicionado y tal que cada clase es un completo. Además obtuvimos que las aristas incidentes a las dos clases inducen un bigrafo de intervalos.

In this work, we focus on the characterization by forbidden patterns of the classes of graphs defined by their thinness, a graph width parameter defined by Mannino, Oriolo, Ricci, and Chandran. Specifically, we work on a minimal forbidden pattern characterization of the class of conditioned 2-thin co-bipartite graphs. To reach such a characterization, we define the notions of hinge order and conditioned 2-thin representation. The first concept defines a vertex ordering based on its 2-thin order and partition, while the second introduces restrictions on that order. We identify a general property of graphs with thinness at most 2, showing that given a hinge order associated with a 2-thin representation, splitting that order at any point to define two classes—where the first follows a canonical interval order and the second follows the reverse of such an ordering—yields another 2-thin representation with the same hinge order. Using this result, we prove that for any conditioned 2-thin co-bipartite graph, there exists a 2-thin representation with a conditioned hinge order such that each class forms a clique. Additionally, we obtain that the edges between the two classes induce an interval bigraph.