Sobre sistemas lagrangianos dependientes del tiempo sobre grupos de Lie e integradores variacionales

Abstract

Los sistemas Lagrangianos mecánicos dependientes del tiempo son de gran interés en diversas ramas de la ingeniería y la física. En particular, en robótica, se consideran numerosos sistemas no autónomos, es decir, dependientes del tiempo. En este trabajo presentamos la dinámica de tales sistemas en grupos de Lie, considerando tanto variables temporales continuas como discretas. En este marco, abordamos el problema de integrar sus ecuaciones de movimiento mediante técnicas variacionales discretas. Ilustramos el enfoque con ejemplos sencillos cuyo espacio de configuración es el grupo euclidiano y proponemos sus versiones discretas. Asimismo, estudiamos un ejemplo en el grupo de rotaciones espaciales y, finalmente, discutimos posibles líneas de investigación futura orientadas al desarrollo de integradores variacionales para sistemas más generales.

Time-dependent Lagrangian mechanical systems are of great interest in various branches of engineering and physics. In particular, in robotics, many non-autonomous, that is time-dependent, Lagrangian systems are considered. In this work, we present the dynamics of such systems on Lie groups, considering both continuous and discrete time variables. Within this framework, we address the problem of integrating their equations of motion using discrete variational techniques. We illustrate the approach with simple examples whose configuration space is the Euclidean group, and propose their discrete counterparts. We also study an example on the group of spatial rotations, and finally discuss future research directions aimed at developing variational integrators for more general systems.