Analogía Schrödinger-Fick: marco teórico cuántico para el coeficiente de difusión y la barrera de potencial Uo

Abstract

La determinación precisa de los coeficientes de difusión, ya sean aparentes o relativos, exige la convergencia de mediciones experimentales, modelos teóricos sólidos y simulaciones numéricas avan- zadas. La estrecha analogía formal entre la ecuación de Schrödinger en estado estacionario y la ecuación de Fick permite aprovechar el rico andamiaje matemático de la Mecánica Cuántica para describir pro- cesos de transporte clásico. En este estudio teórico, partimos de esa semejanza para derivar expresiones analíticas del coeficiente de difusión (D) y la barrera de energía potencial U0 que debe superarse para que una partícula penetre en el medio difusor. Mediante el tratamiento cuántico de la función de onda estacionaria- análogo al perfil de concentración en difusión- se obtiene una relación directa entre las soluciones de Schrödinger y las soluciones de la ecuación de difusión unidimensional de Fick, estable- ciendo así un puente riguroso entre ambos formalismos. Como complemento conceptual, el modelo de random walk en una red bidimensional ilustra el desplazamiento aleatorio de partículas, reforzando la pertinencia del formalismo exhibido.

Precise determination of diffusion coefficients - apparent or relative - requires the convergen- ce of experimental measurements, robust theoretical models, and advanced numerical simulations. The close formal analogy between the time-independent Schrödinger equation and Fick’s diffusion equation enables the use of the rich mathematical framework of Quantum Mechanics to describe classical transport processes. In this theoretical study, we build upon this analogy to derive analytical expressions for the diffusion coefficient (D) and the potential energy barrier U0 that must be overcome for a particle to penetrate the diffusive medium. Through a quantum treatment of the stationary wave function—analogous to the concentration profile in diffusion—a direct relationship is established between the solutions of the Schrödinger equation and those of the one-dimensional Fick diffusion equation, thereby constructing a rigorous bridge between both formalisms. As a conceptual complement, a random walk model on a two-dimensional lattice is employed to illustrate the stochastic displacement of particles, reinforcing the relevance and applicability of the proposed formalism.