Acciones efectivas para campos cuánticos en espacios curvos y con borde

Abstract

El formalismo línea de mundo (WLF) es un esquema útil en teoría cuántica de campos (QFT) que también se ha convertido en una poderosa herramienta para realizar cálculos numéricos. El ingrediente principal de este formalismo consiste en la (primera) cuantización de una partícula puntual auxiliar cuyas amplitudes de transición se corresponden con el núcleo de calor (heat-kernel) del operador de fluctuaciones cuánticas de la teoría de campos. No obstante, para estudiar un campo cuántico en una variedad con borde es necesario restringir el dominio de integración de los caminos de la partícula auxiliar, tomando un subconjunto específico de líneas de mundo contenidas en dicha variedad. El principal objetivo del presente trabajo consiste en mostrar cómo implementar esta restricción. Para ello, se presentan dos técnicas que permiten resolver este problema: el método de las imágenes y el método del potencial delta. La presente tesis se dedica mayormente a desarrollar la primera de ambas técnicas, incluyendo resultados novedosos no publicados previamente. La segunda de las dos técnicas es presentada de manera simplificada, solamente a modo de resumen al final de la tesis. De esta manera, los temas abordados en el presente trabajo son los siguientes: 1. Resumen de QFT y del WLF en espacios sin bordes. Se sintetizarán resultados relevantes para teorías de campos escalares, espinoriales y vectoriales, así como su estudio mediante el formalismo línea de mundo en espacios sin bordes. 2. Estudio del WLF en variedades con borde mediante el método de las imágenes. Este método es conocido en la literatura para campos escalares. Se resumirá brevemente lo que se conoce de dicho problema, y luego se estudiará cómo generalizar estos conocimientos a campos de espín arbitrario (escalares, espinoriales o vectoriales) siempre que el correspondiente operador de fluctuaciones cuánticas sea un operador diferencial elíptico de segundo orden. En este estudio se impondrá que las condiciones de contorno del campo sobre el borde de la variedad sean del tipo mixtas; es decir que ciertos grados de libertad internos satisfarán condiciones Dirichlet, mientras que los grados de libertad restantes satisfarán condiciones de contorno Robin. Más aún, en la presente tesis se tratarán dos tipos de variedades con bordes: por un lado, se estudiarán variedades que posean un único borde simplemente conexo, y por otro lado, se considerará el caso en que existan dos bordes desconectados entre ellos. Si bien en todos estos casos se admite la posibilidad de que la variedad posea una métrica curva y que los bordes sean curvos, será requisito ineludible que tanto la variedad como el operador de fluctuaciones cuánticas no sean singulares. 3. Aplicaciones del WLF a espacios con borde. Una vez construida la teoría general asociada al punto anterior, esta será aplicada a varias situaciones físicas concretas que involucran campos cuánticos escalares, fermiónicos o de gauge. Aquí también se introducirá brevemente el método del potencial delta para campos escalares en una variedad con una única interfase donde se satisfacen condiciones de contorno semitransparentes, ya sean del tipo Dirichlet o del tipo Neumann.