Sobre el problema restringido elíptico de los tres cuerpos

Abstract

Una de las más celebradas conclusiones de G. W. Hill, obtenida mediante la introducción de sus curvas de velocidad nula en el problema restringido de los tres cuerpos, es la que se refiere a la estabilidad del movimiento de la Luna. Hill ha demostrado en efecto, que si se desprecia la excentricidad de la órbita terrestre, la distancia entre la Tierra y la Luna, en el problema del movimiento de estos dos cuerpos respecto del Sol, permanece acotada superiormente para todo valor del tiempo. No obstante la extraordinaria importancia de este resultado cualitativo, apenas en los últimos años varios autores han encarado sistemáticamente el difícil y enojoso problema restringido elíptico de los tres cuerpos. Pero a pesar de haberse publicado varios trabajos sobre este tema y de haberse llegado a interesantes conclusiones, creemos que hasta ahora no se ha logrado ningún resultado, ni teórico ni numérico, que generalice de alguna manera el mencionado teorema de Hill, ni siquiera suponiendo muy pequeña la excentricidad de la Tierra. En el presente trabajo damos a conocer un teorema que, si bien no resuelve definitivamente el problema de Hill en el caso restringido elíptico, abre al menos un camino aparentemente interesante para emprender variadísimas experiencias numéricas, algunas de las cuales serán iniciadas en seguida por uno de nosotros.

One of the most celebrated conclusions obtained by G. W Hill by introducing his curves of zero velocity in the Eulerian model of the restricted problem of three bodies, is the stability of the Moon’s motion. Hill proves in fact that, the eccentricity of the Earth being neglected, the distance between the Earth and the Moon, when only the perturbations of the Sun are taken into account, must remain bounded above for all time. In spite of the importance of this qualitative result, only in the last few years a number of authors have systematically attacked the very difficult restricted problem of three bodies in the eccentric case, but it does not seem to have been dem os twated that if the orbits of the primaries are eccent 'ic, Hill’s theorem, or some similar result, is still valid, no matter how small the eccentricity of the orbits of the primaries may be. Our purpose here is to give a transformation (change of variables) by means of which we arrive to an identity (see (Je)) similar to the useful Jacobi integral. In the last part of the paper we will show that if the eccentricity of the primaries is sufficiently small, it is possible to determine a “forbidden” belt in whose interior moves one of the primaries, such that a satellite cannot escape across this belt, in any finite interval of time.