Estudio empírico de la difusión caótica en sistemas conservativos

Abstract

Cuando queremos estudiar la dinámica de un sistema, por ejemplo una galaxia o un sistema planetario, es importante primero conocer en qué regiones del sistema una órbita tiene un comportamiento regular y en cuáles un comportamiento caótico. Las herramientas que utilizaremos para abordar esta cuestión son los llamados indicadores de caos. Existen en la literatura una gran cantidad de estos indicadores, de los cuales en este trabajo utilizaremos aquéllos basados en la evolución de la solución de las ecuaciones variacionales. Algunos ejemplos de este tipo de indicadores son el Máximo Exponente de Lyapunov (lLCE), el Indicador Rápido de Lyapunov (FLI) y su variante que considera solo la componente ortogonal (OFLI), el Factor de Crecimiento Exponencial Medio de Órbitas Cercanas (MEGNO), el Índice Menor de Alineamiento (SALI), entre otros. En el Capítulo 2 revisaremos las principales características de una variedad de este tipo de indicadores. Luego, en el Capítulo 3 presentaremos un código, escrito en FORTRAN, que integra de una forma eficiente todos los indicadores descriptos en el Capítulo 2. Hemos desarrollado dos versiones de este programa, una para mapas simplécticos y otra para flujos hamiltonianos. La primera será empleada en la segunda parte de este trabajo, y ambas versiones fueron utilizadas en la tesis doctoral del Dr. Nicolás Maffione. La segunda parte de este trabajo está dedicada al estudio, dentro de la región caótica, de la difusión, esto es, determinar si existe una variación secular de las integrales no perturbadas del sistema. Para valores perturbativos muy pequeños se encontraron escenarios en los que la difusión no era detectable a causa de las oscilaciones introducidas por los efectos de deformación del conjunto de variables utilizadas, por lo que recurrimos al uso de las formas normales. Dado que no existía hasta el momento una implementación de esta técnica para el caso de mapas, en este trabajo se creó, por primera vez en la literatura, dicha implementación. Esta herramienta es una sucesión de transformaciones canónicas que permite describir, de una forma más clara, la dinámica del sistema, eliminando justamente los efectos de deformación. En el Capítulo 4 presentaremos, de una manera detallada, el mecanismo para la construcción de las formas normales para un mapa simpléctico 4D cuasi-torsional general. En el Capítulo 5 mostraremos cómo aplicar dicho mecanismo a dos mapas estándar acoplados. Dado que las formas normales se construyen mediante series de Fourier, presentaremos los resultados de la medición de los tiempos de CPU empleados para distintos órdenes de este desarrollo. También presentaremos una estimación empírica del orden óptimo para el cual construir la forma normal, para dos escenarios distintos. Finalmente, en el Capítulo 6 llevaremos a cabo el estudio de la difusión, que es el objetivo central de este trabajo. Este estudio lo realizaremos a través de la medición de la desviación cuadrática media de la acción en la dirección de la resonancia con respecto a su valor inicial. Estudiaremos un ensamble de 103 partículas considerando varios escenarios distintos mediante la variación del parámetro de acoplamiento del mapa.