Ecuaciones diferenciales parciales

Abstract

El texto reúne los contenidos del curso semestral Ecuaciones Diferenciales Parciales que se dicta desde agosto de 2002 en la Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas de la UNLP para alumnos avanzados. Se requiere por parte del lector de una formación básica sobre Análisis Matemático en una y varias variables reales y en variable compleja, así como sobre Álgebra y Álgebra Lineal. Se halla organizado en ocho capítulos, y seis apéndices que incluyen material complementario. En estas notas desarrollaremos parte de lo que es una teoría general y clásica de EDP. El capítulo 1 desarrolla la teoría de integración de las ecuaciones generales de primer orden, presentando el método de las características para la obtención de soluciones generales, introduce los distintos tipos de soluciones o superficies integrales y trata la resolución de un problema de valor inicial o problema de Cauchy, discutiendo las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una solución única. El capítulo 2 aborda la clasificación y reducción a sus formas normales de las EDP de segundo orden. El capítulo 3 se dedica al estudio con cierto detalle de la ecuación de ondas en una dimensión espacial, paradigma de las ecuaciones lineales hiperbólicas. El estudio de procesos de conductividad térmica o difusión en una dimensión espacial descriptos por el arquetipo de las ecuaciones lineales parabólicas se incluye en el capítulo 4. La teoría relativa a la ecuación de Laplace y los problemas de contorno a ella asociados se aborda en el capítulo 5, brindando una detallada descripción de las condiciones necesarias para que los problemas sean ”bien planteados"; también se presentan interesantes propiedades de las funciones armónicas de frecuente aparición en el planteo matemático de problemas de la física. Las ecuaciones hiperbólicas y parabólicas en más de una dimensión espacial se estudian en los capítulos 6 y 7. El capítulo 8 presenta la teoría de los potenciales de volumen y de superficie, de doble y simple capa, y su aplicación al tratamiento de problemas de contorno para las ecuaciones de Laplace, Poisson y la ecuación de Helmholtz mediante la resolución de ecuaciones integrales. Los apéndices A, B y D cubren tópicos que resultan auxiliares para el abordaje de los problemas de contorno objeto de estudio de modo que el texto sea autocontenido. El método de separación de variables tratado en C constituye un tema importante que nos conducirá a los problemas de Sturm-Liouville y sus autovalores, resultados que se aplican en varios de los problemas resueltos y se describen en el apéndice E. Finalmente, el apéndice F brinda una introducción a los métodos de resolución de ecuaciones integrales. El libro contiene numerosos ejemplos resueltos, con el propósito de consolidar la comprensión de los tópicos abordados, y también un buen número de problemas propuestos, con sus soluciones respectivas, destinados a desarrollar en el lector la habilidad de resolverlos y el dominio de las estructuras matemáticas a ellos asociados.