Softened potentials and the multipolar expansion

Abstract

When the gravitational potential is developed in a multipolar series, each multipole is well defined and corresponds to a finite sum of terms in the series. In order to use the gravitational potential in numerical simulations, however, a multipolar expansion is usually applied to a softened Newtonian potential. It turns out that the commonly used multipolar expansion in this case no longer isolates each multipole as in the former case; instead, each multipole is spilled over an infinity of terms. In this paper we show how to recover the complete multipoles. Fortunately, the overall effect of using incomplete multipoles instead of complete ones turns out to be negligible in the cases of interest, for example, in its use in treecodes.

Cuando se calcula el desarrollo multipolar del potencial gravitatorio, los distintos multipolos quedan bien definidos, correspondiendo cada uno a una suma finita de términos de la serie. Sin embargo, al usar el potencial gravitatorio en simulaciones numéricas, suele desarrollarse en serie una versión suavizada del mismo. Ocurre que, en estos casos, el desarrollo multipolar estándar que suele utilizarse y a no aísla los multipolos, sino que cada uno de ellos queda distribuido en infinitos términos. En este artículo se muestra cómo recuperar los multipolos completos en estos casos. Afortunadamente, la diferencia entre usar multipolos incompletos y completos es despreciable en los casos de interés, por ejemplo, en su uso en códigos árbol.