Marcos y recuperación de fase

Abstract

En los últimos años se ha dado un aumento considerable de trabajos que estudian aspectos relacionados a la reconstrucción de señales empleando el valor absoluto de los coeficientes (fase) que se obtienen mediante mediciones lineales (llamados intensity measurements). Esto refleja el interés creciente en este tema que tiene importantes aplicaciones, por ejemplo en óptica (rayos X), cristalografía, electron microscopy, etc. En términos teóricos y empleando terminología y notación proveniente de la teoría de marcos, se trata de estudiar aquellos marcos que permitan la reconstrucción de un vector $x$ en un espacio de Hilbert en términos del valor absoluto de sus coeficientes marco $\pint{x,f_k}$ obtenidos a partir de la codificación mediante el marco $\cF=\{f_k\}$, $k=1,\ldots,m$. Por ejemplo, en el contexto de un espacio vectorial real $\R^n$, se trata de estudiar la inyectividad del operador (no lineal) $$ M^{\cF}: \R^n\backslash \{-1,1\}\mapsto \R^m \qquad M^{\cF}(\hat{y})=\sum_{i=1}^m |\pint{y,f_i}|\, e_i,$$ donde $\hat{y}$ es la clase de equivalencia dada por la relación $x~ y$ si y sólo si $x=\pm y$, y $\{e_k\}_{k=1}^m$ es la base canónica en $\R^m$. Existe una generalización del problema de recuperación de fase al contexto de los marcos de fusión. Concretamente, el problema es reconstruir un vector a partir de las normas de las proyecciones del vector a determinados subespacios. Esto es, el problema es caracterizar los subespacios $\{W_k\}_{k=1}^m$ de $\hil$ para los cuales las medidas $\{P_{W_k}x\}_{k=1}^m$ son inyectivas para todo $x\in \hil$. En un trabajo de Casazza et al, los autores prueban el sorprendente resultado que la recuperación de fase es posible en $\R^n$ usando $2n-1$ subespacios de dimensión menor a $n-1$. Esto es, el número de subespacios requeridos no es tan grande como uno espera a priori. Existen varios problemas abiertos, esto son algunos de los problemas que se abordarán en los años de duración de la beca: *¿Cuál es el número mínimo de subespacios que permiten recuperación de fase en $\R^n$? ¿depende éste de las dimensiones de los subespacios? *Clasificar o encontrar ejemplos de subespacios $\{W_k\}_{k=1}^m$ que permitar recuperación de fase, tales que el espacio generado por sus proyecciones no sea igual al span de ningun conjunto de $m$ proyecciones de rango 1. *Exhibir ejemplos de marcos de fusión no estructurados de dimensión arbitraria que permitan recuperación de fase.