Una generalización de sistemas lagrangianos y hamiltonianos implícitos

Abstract

Las estructuras y variedades de Dirac fueron introducidas por T. Courant y A. Weinstein alrededor de 1990 como una manera de poder tratar de modo unificado a las estructuras (pre-)simplécticas y de Poisson en variedades. En el marco de la mecánica clásica, el trabajo de J. Marsden y H. Yoshimura permitió relacionar la formulación Lagrangiana (o variacional) con la Hamiltoniana (o simpléctica). Presentamos una noción de sistema de Dirac-Pontryagin. Dada una variedad suave Q, a partir de la estructura simpléctica canónica en TQ y una distribución sobre Q, construimos una estructura de Dirac D sobre el fibrado de Pontryagin de Q, definido como la suma de Whitney de los fibrados tangente y cotangente. Un sistema de Dirac-Pontryagin es una terna (Q,ΔQ,α), donde Q es el espacio de configuraciones, ΔQ es una distribución de vínculos sobre Q y α es una 1-forma sobre el fibrado de Pontryagin. Decimos que una curva (q,v,p) en el fibrado de Pontryagin de Q es una trayectoria del sistema si satisface que el par formado por el vector velocidad de (q,v,p) y α(q,v,p) pertenecen a la estructura de Dirac inducida por Δ en el punto (q,v,p), donde Δ es cierta distribución sobre el fibrado de Pontryagin construida a partir de ΔQ. Los sistemas así definidos generalizan a los sistemas Lagrangianos y Hamiltonianos implícitos estudiados por Marsden y Yoshimura en sus trabajos del año 2006, ya que estos últimos pueden considerarse como casos particulares de los sistemas de Dirac-Pontryagin. Además, proponemos un principio variacional para ciertos sistemas de Dirac-Pontryagin que de manera natural recupera los principios variacionales de los sistemas Lagrangianos y Hamiltonianos implícitos. Por otro lado, este principio permite interpretar las ecuaciones de estos sistemas de Dirac-Pontryagin de manera variacional.