Formalismo línea de mundo para un campo escalar en variedades curvas y con borde

Abstract

El formalismo línea de mundo es un esquema útil en teoría cuántica de campos que también se ha convertido en una poderosa herramienta para realizar cálculos numéricos. El ingrediente principal de este formalismo consiste en la (primera) cuantización de una partícula puntual auxiliar cuyas amplitudes de transición se corresponden con el núcleo de calor (heat-kernel) del operador de fluctuaciones cuánticas de la teoría de campos. No obstante, para estudiar un campo cuántico en una variedad con borde es necesario restringir el dominio de integración de los caminos de la partícula auxiliar, tomando un subconjunto específico de líneas de mundo contenidas en dicha variedad. El principal objetivo del presente trabajo consiste en mostrar cómo implementar esta restricción para el caso de un campo escalar en ciertas geometrías con borde, poniendo a prueba los resultados al considerar que el campo se encuentra confinado en una esfera D-dimensional bajo condiciones de borde de Dirichlet, Neumann y Robin. Se computan explícitamente los primeros coeficientes del heat-kernel para el caso D=2 como verificación de la construcción empleada. Además de la tarea mencionada, se discuten aspectos varios de las teorías cuánticas de campos y sus aplicaciones, con énfasis en el formalismo línea de mundo. Es en base a estos aspectos que se construye el formalismo, primero en espacios sin borde y luego en variedades con borde. Al final se mencionan posibles generalizaciones de la construcción presentada.