Deducción directa de las ecuaciones planetarias

Abstract

El carácter de este trabajo es más bien didáctico: me propongo deducir a continuación las ecuaciones diferenciales de los elementos osculadores elípticos (ecuaciones planetarias) en el problema de los n cuerpos, como un mero cambio de variables dependientes, esto es sin integrar previamente, como se acostumbra, la ecuación diferencial en derivadas parciales de Hamilton-Jacobi para determinar cierto conjunto de constantes canónicas y recurriendo luego al método de variación de las constantes arbitrarias, o bien aplicando primero este método y calculando después los paréntesis de Lagrange, es decir los coeficientes de las derivadas de los seis elementos elípticos en el sistema de ecuaciones que resulta de aplicar dicho método, ya sea directamente o mediante alguno de los métodos conocidos (Campbell, Whittaker). La deducción directa que ahora proponemos * es particulaimente útil para obtener las ecuaciones planetarias del problema de más de tres cuerpos, aun en el caso en que alguna de las órbitas osculadoras no sea elíptica. Las conocidas ecuaciones pueden en efecto escribirse sin admitir tácitamente, como es común, la aditividad de las funciones perturbadoras, cuando se pasa del problema de tres al de n cuerpos.

It is the object of this expository paper to derive the differential equations of the Keplerian elements (planetary equations) in the problem of n bodies merely as a change of variables, that is to say, without the use of the method of variation of arbitrary constants. In celestial mechanics this method is applied to the problem of three bodies after a set of canonic constants for the elliptic orbit have been found by solving the Hamilton-Jacobi partial differential equation. The use of canonic equations may be avoided if the brackets of Lagrange (appearing in the equations for the deiivatives of the six elliptic elements) are evaluated directly or by means of some special method (Campbell, Whittaker). The straightforward derivation now proposed is particularly useful for obtaining the planetary equations for more than three bodies, since the known equations may be written without assuming (tacitly) as usual the additivity of the disturbing functions when the equations for n = 3 bodies are extended for any n (cf. 1, p. 190; 4, p. 205; 5, p. 515). For the sake of completeness, we have also included the equation for the semi-major axis of the orbit, frequently derived from the energy integral, as well as the equations for the inclination of the orbit, the eccentricity and the longitude of the ascending node, which have been obtained by Chazy [b] by application of the principle of angular momentum.