Conexiones discretas en fibrados principales: su curvatura, la sucesión de Atiyah discreta y otros resultados

Abstract

En este trabajo estudiamos análogos discretos de una sucesión exacta de fibrados vectoriales, introducida por M. Atiyah en 1957 (en ‘’Complex analytic connetions in fibre bundles‘’), asociada a un fibrado principal π: Q → Q/G. En la sucesión original, las escisiones de la sucesión exacta corresponden a conexiones en el fibrado principal π. Los análogos discretos los consideramos en dos categorías diferentes: en la categoría de fibrados con una sección (seleccionada), Fbs, y en la categoría de grupoides de Lie locales, lLGpd. En Fbs encontramos una correspondencia entre las escisiones (semilocales) de la sucesión discreta de Atiyah (SAD) de π y las conexiones discretas en el mismo fibrado π. También probamos que la SAD es escindida a derecha (o izquierda) si y sólo si la sucesión es equivalente semilocalmente a una extensión producto fibrado de (Q/G) x (Q/G) por G. En la categoría de grupoide de Lie locales, encontramos que existe una obstrucción para que las escisiones de las SAD (en Fbs) que surgen de una conexión discreta en π sean morfismos en lLGpd; identificamos a esta obstrucción como una curvatura discreta de una conexión discreta. Entonces, existe una correspondencia entre las escisiones de la SAD en lLGpd y conexiones discretas con curvatura discreta trivial. También introducimos un producto semidirecto entre (algunos) grupoides de Lie locales y demostramos que existe una correspondencia entre las extensiones de producto semidirectos y las escisiones de la SAD en lLGpd. Por último, estudiamos un caso particular del cálculo de la holonomía de una conexión discreta cuando el grupo estructural del fibrado principal, G, es abeliano. En este caso hemos probado un análogo discreto a una fórmula bien conocida que relaciona la holonomía alrededor de un lazo con la integral de la curvatura en la superficie encerrada (ver en ''Reduction,symmetry and phases in mechanics'' de J. Marsden, R. Montogomery y T. Ratiu). Conseguimos realizar a las formas de conexión discretas como 1-cocadenas simpliciales en Q, el espacio total del fibrado y, más aún, su coborde no es otra cosa que la curvatura de la conexión discreta.