Geometría de sistemas mecánicos con vínculos no holónomos

Abstract

Esta tesis está dedicada al estudio, desde el punto de vista lagrangiano, de la geometría de los sistemas mecánicos no holónomos generalizados y de los sistemas con restricciones no ideales. En primer lugar, se estudian sistemas los sistemas no holónomos generalizados: sistemas mecánicos con restricciones en los cuales la fuerza ejercida por el vínculo hace trabajo nulo sobre vectores que no necesariamente coinciden los desplazamientos virtuales. Consideraremos algunas propiedades de estos sistemas desde un punto de vista geométrico. Se utilizará una adecuada adaptación de la versión invariante de la mecánica lagrangiana presentada por L. Fadeev y A.M. Vershik en [26]. Como primer resultado, daremos una expresión simple del campo generador de la dinámica de estos sistemas en términos del de la dinámica de los sistemas sin restricciones. En particular, esta expresión brindará una sencilla prueba geométrica de la existencia y unicidad de dicho generador. Definiremos productos internos en los espacios tangentes al espacio de configuración que nos permitirán presentar una versión del Principio de Gauss de mínima acción aplicable a los sistemas no holónomos generalizados. Como caso particular, se reobtendrá el resultado clásico de Chataev sobre los desplazamientos virtuales [7]. El Principio de D’Alembert [5] [16], la función de Gibbs-Appell [3] [17], la fórmula para el momento no holónomo [5] y el método de Kane [11], también serán extendidos al caso de sistemas no holónomos generalizados. Posteriormente, se estudiarán dos casos de sistemas con vínculos no ideales, esto es, sistemas mecánicos restringidos en los que la fuerza Fc ejercida por el vínculo realiza un trabajo conocido, pero no necesariamente nulo, sobre los vectores de un espacio que puede ser distinto al del de los desplazamientos virtuales. Los sistemas en los que el trabajo de la fuerza es conocido sobre el espacio de los desplazamientos virtuales, fueron sistemáticamente analizados por F.E. Udwadia y R.E. Kalaba en [22] en el marco de la mecánica newtoniana, a partir de una adecuada descomposición de Fc. Consideramos el método de Udwadia y Kalaba en el marco desarrollado en [25]. Este contexo nos permitirá dar una interpretación geométrica de algunos de sus resultados, en particular, de la versión del Principio de Gauss de mínima restricción introducido en [24], y del hecho importante de que, si se omite la aceleración producida por uno de los términos de la descomposición de Fc, se obtienen las ecuaciones de movimiento del sistema con restricciones ideales [23]. Por último veremos una extensión de estas propiedades al caso más general: la fuerza del vínculo realiza un trabajo conocido, sobre vectores de un espacio que puede ser distinto al del de los desplazamientos virtuales. Cabe destacar que el marco geométrico que utilizaremos no involucra derivadas covariantes ni métricas sobre el espacio de fase de las velocidades.