Aplicaciones de funciones espectrales en teoría cuántica de campos

Abstract

En el Capítulo I hemos dado una breve introduccion a la teoría de operadores elípticos y problemas elípticos de borde: condiciones que deben ser satisfechas para definir un problema elíptico, propiedades que posee el espectro para estos operadores, condiciones para la definicion de determinadas funciones espectrales y su expresión en terminos de los autovalores del operador. Como ya se remarcó, la existencia de este capítulo esta ampliamente justificada por la importancia y uso de las funciones espectrales en teoría cuantica de campos. En el Capítulo II estudiamos la conexion existente entre energías de Casimir para campos escalares regularizadas vía funcion ς y vía cutoff exponencial. Mostramos que, en general, ambos esquemas de regularizacion conducen a contribuciones divergentes y a partes finitas mínimas que no coinciden. Determinamos los coeficientes que aparecenen una y otra aproximacion. Discutimos el acuerdo con nuestras predicciones en el caso de campos en cajas d-dimensionales bajo condiciones periodicas de borde. Finalmente, aplicamos nuestros resultados a campos escalares no masivos en esferas (un ejemplo en el que permanecen ambiguedades bajo las prescripciones físicas usualmente impuestas para extraer un resultado finito). En el Capítulo III, luego de dar una breve presentacion sobre extensiones autoadjuntas de operadores diferenciales, estudiamos el problema de un campo de Dirac sinmasa (en 2 + 1 dimensiones) en el background de una cuerda de flujo de AharonovBohm. Excluimos el origen imponiendo condiciones de contorno espectrales a un radio finito que es luego llevado a cero; obtuvimos de esa forma una de las posibles extensiones autoadjuntas del Hamiltoniano radial, que resulta compatible con un campo magnetico tipo δ de Dirac en el origen y que respeta la invarianza ante traslaciones enteras del flujo reducido. Hemos dado así una aplicacion física de las condiciones espectrales, habitualmente usadas solo por su interés matemático. Después de confinar la teoría a una region finita, chequeamos la consistencia con el teorema delíndice de Atiyah-Patodi-Singer y evaluamos el numero fermi ónico y la energía de Casimir. En el Capítulo IV calculamos la energía de Casimir para campos de Dirac masivos en 2 + 1 dimensiones, confinados a una region espacial finita mediante condiciones de contorno de la bolsa de MIT, en presencia de un campo de background deAharonov-Bohm. Tratamos dos posibles extensiones autoadjuntas del Hamiltoniano y comparamos sus resultados. Hallamos que las energías de Casimir obtenidas para estas extensiones autoadjuntas son radicalmente diferentes, enfatizando el hecho de que describen distintas situaciones físicas; en particular, para una de ellas, y como consecuencia de la presencia de la masa, la energía resulta discontinua a valores enteros del flujo. Por ultimo, en el capítulo V obtuvimos, mediante la funcion ς, la accion efectiva a 1-loop para campos de Dirac masivos en presencia de un campo de background electromagnetico uniforme pero de magnitud arbitraria. Mostramos el acuerdo entre nuestro resultado general y otros previos, obtenidos mediante otros esquemas de regularizacion.