Teorema central del límite para campos aleatorios dependientes

Abstract

Los campos aleatorios, generalización multidimensional de las sucesiones de variables aleatorias, aparecen naturalmente en modelos donde las variables están subindicadas por los puntos de un reticulado. En muchas ocasiones no se tiene la situación tan deseable de independencia de estas variables sino una dependencia (o interacción, terminología habitual en las aplicaciones) que se va debilitando con la lejanía. Nuestro trabajo se ocupa de la normalidad asintótica de los procesos de sumas parciales subindicados por conjuntos, de campos aleatorios estacionarios con condiciones de dependencia de tipo φ-mezcla no uniforme. Como se sabe, este tipo de dependencia se presenta en ciertos campos de Gibbs. La primera parte consta del material básico de conceptos, notaciones, definiciones y resultados conocidos que permiten delinear los objetivos. Allí se dan precisiones sobre temas como condiciones de mezcla y procesos de sumas parciales subindicados por conjuntos. En la segunda parte se presenta, en primer lugar, una condición de integrabilidad uniforme que modifica una de las hipótesis de un criterio general de Goldie y Greenwood ([18], 1986) para la convergencia de las distribuciones finito-dimensionales de procesos subindicados por conjuntos. Se demuestra una desigualdad de cuarto momento para campos acotados que permite verificar la nueva condición para campos con varianza finita y cierta velocidad de decrecimiento en la función de mezcla, y probar un teorema de convergencia al movimiento browniano subindicado por todos los conjuntos borelianos de [0,1], esto mejora un resultado de Chen([9], 1991) que es para rectángulos con hipótesis de momento mayor que 2. La demostración de una segunda desigualdad de cuarto momento para campos con sexto momento finito y velocidad ligeramente mayor en el decrecimiento de la función de mezcla, permite volver a aplicar el mismo criterio y obtener un teorema para el caso de varianza infinita. A continuación se demuestra que, bajo una condición general que no involucra la dependencia, la convergencia de las distribuciones finito-dimensionales al movimiento browniano implica un teorema central del límite para sucesiones crecientes de rectángulos con la misma condición geométrica de B.Nahapetian ([23], 1980). Las consecuencias son una prueba alternativa del teorema central del límite con varianza finita del citado trabajo y la obtención de su extensión a varianza infinita. La tercera parte se inicia con un teorema central del límite funcional (o uniforme) para campos acotados y sumas parciales subindicadas por rectángulos. Su demostración es una nueva aplicación de la primera desigualdad de cuarto momento, esta vez en combinación con una desigualdad maximal de Bickel y Wichura ([4], 1971), y muestra que hay casos interesantes (como el modelo de Ising, ejemplo en [9]) que pueden resolverse trabajando de manera discreta y con herramientas elementales. Seguidamente se extiende un teorema funcional de [9], donde los procesos están subindicados por rectángulos, a procesos subindicados por familias sustancialmente mayores de conjuntos y además se requiere menor velocidad de decrecimiento de la función de mezcla. Los principales resultados que hemos obtenido para varianza finita están contenidos en [22]. La cuarta parte presenta ejemplos obtenidos a partir de ciertos campos de Gibbs.