Sobre el comportamiento asintótico de soluciones globales en tiempo de ciertas ecuaciones no lineales de evolución

Abstract

Un fluido es un medio continuo, es decir una sustancia que se mueve (se deforma) en forma continua al transcurrir el tiempo, t > 0, y forma un todo continuo en el espacio x = (x<SUB>1</SUB>; x<SUB>2</SUB>; x<SUB>3</SUB>). Pensamos en tal medio como compuesto de partículas puntuales. Desde el punto de vista físico, el concepto de medio continuo es una abstracción que, estrictamente hablando, está en contra de una teoría ampliamente verificada, la teoría atómica. La teoría de los fluidos trata de construir una teoría matemática que sirva de modelo de la realidad; renunciando a la exactitud y teniendo en cuenta la belleza, extensión y profundidad de las matemáticas originadas; y por otra parte desde el punto de vista físico, por su eficacia en reflejar y en permitirnos intuir y conocer la realidad subyacente, explicar su funcionamiento observado y predecir su evolución futura. La aproximación del medio continuo resulta ser tan efectiva que se olvida con frecuencia de que se trata de un modelo. Así, la consideración del fluido como un medio continuo se basa en que éste consiste en un agregado de partículas en movimiento caótico y que la distancia carcterística de este movimiento, que recibe el nombre técnico de \recorrido libre medio entre colisiones", λ, es mucho menor que las longitudes experimentales, de forma que sólo percibimos un cierto promedio de los procesos individuales entre partículas. Una vez establecido que trabajamos en escalas muy superiores al recorrido libre medio de las partículas podemos olvidar el fino detalle de su movimiento individual y ver en torno a cada punto del espacio x y para cada instante t un volumen elemental representativo, δV , de tamaño mesoscópico o medio, mucho mayor que λ¸ y mucho menor que las longitudes macroscópicas en las que deseamos trabajar. Este volumen elemental, que se denomina también partícula fluida, es considerado como un medio continuo y homogéneo; en él se define una velocidad media del movimiento de ese elemento, que será para nosotros la velocidad puntual en este punto e instante, u(x; t). Es decir, suponemos que existe un valor límite de los promedios cuando δV se hace muy pequeño en la escala intermedia. Análogamente, se definen las demás magnitudes macroscópicas, como la densidad y la presión. En este trabajo consideraremos fluidos que no se comprimen, llamados fluidos incompresibles.