Desarrollo de herramientas basadas en la transformada wavelet para su aplicación en la resolución númerica de ecuaciones diferenciales

Abstract

La presente investigación parte de una primera experiencia de la autora en el tema del método de los elementos finitos, en el cálculo de láminas de revolución y de láminas con comportamiento membranal dominante. En esta área, con un trabajo publicado, completa su tesis de maestría en el año 2004, y luego publica otro trabajo en el tema. Prosiguiendo esta línea de investigación, luego incursiona en la línea de FEM-Wavelets y sus aplicaciones. Se plantea aportar modificaciones originales y competitivas utilizando splines y wavelets de Daubechies y se procura demostrar la factibilidad y eficiencia de estos métodos en algunas aplicaciones. En particular, se trabaja en la resolución de problemas de mecánica estructural que describen el comportamiento de vigas y placas sometidas al efecto de cargas transversales. También se realizan aportes en la formulación de problemas transitorios, EDPs que dependen del tiempo, extendiendo los métodos desarrollados y utilizando el método de líneas que conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Los resultados obtenidos dan lugar a seis nuevas publicaciones y constituyen la primera parte de esta tesis doctoral. Los mencionados avances motivan el desarrollo de métodos para resolver problemas de contorno que aprovechen las ventajas del Análisis de Multirresolución y aprovechen las relevantes propiedades de las funciones splines en un contexto Galerkin variacional. Esto constituye la segunda parte de la tesis y su contribución central. A partir de esta perspectiva, se desarrolla un esquema híbrido que combina ecuaciones variacionales y de colocación. De esta forma, se propone un tratamiento de las condiciones de borde que resulta adecuado y conduce a aproximaciones con buenas propiedades de con- vergencia. Al mantener la estructura de multirresolución, esta estrategia permite definir una aproximación jerárquica, refinada por escalas. El método es implementado con B-splines y los resultados numéricos obtenidos en distintas aplicaciones dan lugar a una nueva publicación internacional. Prosiguiendo, se define un esquema que aprovecha las ventajas del análisis multirresolución, y permite pasar de la aproximación en una escala, a la siguiente más fina con el menor esfuerzo computacional. Se desarrolla, entonces, empleando wavelets spline sobre intervalos, una técnica para resolver problemas de borde de segundo orden, que permite mejorar las aproximaciones con una significativa disminución del costo computacional. Los resultados numéricos en distintas aplicaciones y las comparaciones con resultados obtenidos con métodos de colocación adaptativos se publican en un último trabajo, culminando el trabajo de la Tesis.