Métodos computacionales de optimización sin derivadas para minimización con restricciones

Abstract

La optimización sin derivadas es un área de creciente interés por su potencial relación con aplicaciones en otras disciplinas, dado que es frecuente no contar con una expresión explícita de las funciones involucradas en el problema de optimización sino sólo datos experimentales o simulaciones computacionales. Por lo tanto el objetivo general de este plan es desarrollar nuevos algoritmos eficientes y robustos basados en estrategias adecuadas, analizando su convergencia y validando los mismos mediante implementaciones y experimentación numérica. En este trabajo se propuso dos métodos de optimización sin derivadas basados en modelos de interpolación y región de confianza. El primer algoritmo desarrollado para este trabajo es el algoritmo TRB-POWELL [4]. TRB-Powell fue propuesto para resolver un problema de optimización irrestricto o con restricciones de caja sin derivadas basado en el método de Powell, NEWUOA [52, 53], para optimización (sin restricciones) sin derivadas. Inicialmente se ha considerado el problema irrestricto. El método NEWUOA, en cada iteración, construye un modelo de interpolación cuadrática de la función objetivo alrededor del iterado actual y este modelo es minimizado para obtener un nuevo punto de prueba. Todo el proceso está inmerso en un marco de región de confianza usando la norma Euclídea. Dado que tenemos restricciones de caja, nuestro método usa norma infinito en vez de norma Euclídea y resolvemos el subproblema cuadrático usando una estrategia de conjuntos activos para explorar las caras de la caja. Luego, extendimos el problema irrestricto a un problema con restricciones de caja. El segundo algoritmo es el IR-DFO, el cual se propone para resolver problemas de programación no lineal general sin hacer uso de derivadas y está basado en el método de Restauración Inexacta (IR), el cual fue introducido por Martínez y Pilotta (2000) [43] y posteriormente analizado en el año 2005 [44]. Estos métodos proceden en dos fases y generan una sucesión de puntos infactibles con iteraciones intermedias que consisten en puntos inexactamente restaurados. En nuestro método, todos los cálculos de derivadas del método IR han sido adaptados adecuadamente para resolver el problema sin el uso de éstas. Bajo adecuadas hipótesis, se mostraron resultados de buena definición del algoritmo propuesto y resultados de convergencia a puntos factibles que satisfacen adecuadas condiciones de optimalidad. La implementación incluye diferentes subalgoritmos para obtener una mejor aproximación en cada iteración. Se realizaron diferentes experimentos numéricos.