Aplicaciones de las desigualdades con pesos a ecuaciones diferenciales

Abstract

Esta tesis se centra en estudiar la desigualdad de Poincaré mejorada con pesos y aplicaciones del Análisis Armónico a las ecuaciones diferenciales. En primer lugar obtenemos un teorema general que nos provee condiciones que deben cumplir dos pesos para que valga la desigualdad de Poincaré mejorada en dominios acotados y de John. Gracias a este teorema podemos proveer varios ejemplos de pesos que no están en la clase de Muckenhoupt Ap, en el caso particular de un peso. Para obtener aplicaciones a las ecuaciones diferenciales estudiamos la descomposición de una función de promedio cero como suma de funciones soportadas en cubos y de promedio cero. Esta descomposición está relacionada con la desigualdad de Poincaré mejorada y nos resultará útil para obtener la resolubilidad de la divergencia en espacios de Sobolev con pesos y así también para probar la desigualdad de Fefferman-Stein con pesos, en ambos casos para una clase de pesos más general que la clase de Muckenhoupt Ap. Damos un teorema general para que valga la resolubilidad de la divergencia en espacios de Sobolev. Por último estudiamos estimaciones a priori de soluciones de sistemas uniformemente elípticos en espacios con pesos en la clase de Muckenhoupt Ap. Damos una prueba más simple de la ya obtenida. Para ello necesitamos utilizar la desigualdad de Fefferman-Stein y una estimación puntual que involucra la función maximal sharp y la función maximal de Hardy-Littlewood. Además obtenemos como depende del peso la constante de las estimaciones a priori y probamos que está constante es sharp. En la línea de los sistemas elípticos obtenemos estimaciones a priori con dos pesos. En el caso particular del problema de Dirichlet para potencias del laplaciano damos una condición necesaria sobre el peso para que valgan las estimaciones a priori.