Equilibrios singulares en ecuaciones diferenciales algebraicas: aplicación a redes eléctricas no lineales

Abstract

Las Ecuaciones Diferenciales Algebraicas Cuasilineales (EDACs) aparecen en diversos campos, muchos de ellos vinculados a la teoría de circuitos eléctricos. Uno de los objetivos de la tesis es aplicar resultados de la teoría de EDACs al análisis de los puntos de equilibrio singulares en distintas clases de circuitos eléctricos no lineales que se modelan con este tipo de ecuaciones. En primer lugar, presentamos las definiciones básicas necesarias que se vinculan con el desarrollo posterior del trabajo, para esto, detallamos la clasificación de las EDACs en regulares y singulares y el concepto de índice de una EDAC. Además, presentamos los teoremas ya conocidos que permiten analizar la estabilidad de los equilibrios mediante el espectro de la matriz pencil. Describimos también el algoritmo de desingularización que, dada una EDA del tipo, permite hallar una EDA cuasilineal equivalente, de rango localmente constante, restringida a una subvariedad de menor dimensión donde se puede garantizar existencia de solución. La restricción del sistema hace posible estudiar el comportamiento de los puntos de equilibrio asintóticamente estables en una subvariedad de menor dimensión y analizar su comportamiento. Como un aporte original, usamos los teoremas sobre estabilidad para encontrar las condiciones que garanticen la estabilidad de los puntos de equilibrio regulares en las EDACs que modelizan dos clases de circuitos eléctricos no lineales: (i) los circuitos RLC, que consisten de una resistencia, un capacitor y un inductor en paralelo; (ii) los circuitos LC con diodo-túnel, donde la capacidad depende de uno de los voltajes, la inductancia de la corriente y la relación entre el otro voltaje y la corriente en el modelo diodo-túnel está dada por una función no lineal. Luego, utilizamos el algoritmo de desingularización para establecer una clasificación sobre los distintos tipos de equilibrio en estos modelos. Consideramos la clasificación de las EDACs singulares en estacionarias y no estacionarias y en el primer caso presentamos un ejemplo de aplicación en el método continuo de Newton. En el caso no estacionario de índice 0, damos algunos resultados preliminares ya conocidos sobre estabilidad, restringiendo la dinámica a una variedad central. Como aporte original de la tesis, establecemos resultados teóricos que garantizan la existencia de una subvariedad de dimensión 1 asociada a una solución de cruce de una EDAC singular no estacionaria por un equilibrio singular. Aplicamos los resultados hallados a la búsqueda de trayectorias de cruce por equilibrios singulares en los casos de EDACs singulares que modelizan dos clases de circuitos eléctricos no lineales: RLC y con diodo-túnel. En ambos casos se estudia la estabilidad y se prueba la existencia de una solución de cruce por los equilibrios singulares.