Solución numérica del problema de Kepler en variables universales

Abstract

Cuando se trata de resolver en la forma clásica el problema de encontrar la posición sobre una orbita, correspondiente a un sistema dado, se hace necesario resolver una de las tres ecuaciones de Kepler. Aquí reducimos esas ecuaciones a una forma standard expresada mediante las variables y funciones universales introducidas por Herrick, Stumpf y otros. La solución se obtiene resolviendo primero una ecuación cúbica que representa aproximadamente la forma standard mencionada. Esta primera aproximación, que constituye una modificación de la ecuación de Kepler para el caso parabólico, es bastante buena para todas las excentricidades comprendidas en el intervalo (0; 1,5); los casos más favorables se presentan cuando las posiciones son cercanas al pericentro. Luego se calculan sucesivas correcciones de la primera aproximación para lo cual se debe resolver en forma reiterada una ecuación cuadrática o bien cúbica. En el primer caso, que es equivalente a una corrección del tipo Newton-Raphson cuadrática, se da un criterio para elegir la raíz que corresponde al problema y se encuentra que dos correcciones sucesivas dan en todos los casos por lo menos 8 cifras significativas correctas. En el caso de la corrección cúbica se da un esquema sencillo para el cálculo numérico. En varios gráficos se hace una descripción detallada del grado de precisión obtenido en todos los casos y con diversas aproximaciones. Se estudian algunas propiedades analíticas de las variables y funciones universales introducidas en el problema.