Sobre la teoría de objetos geométricos

Abstract

El concepto de objeto geométrico ha estado bajo la atención de los matemáticos desde los comienzos de este siglo. Muchos fueron los intentos realizados para clarificar y desarrollar el tema hasta la aparición en 1936-37 de los resultados publicados por J.A. Shouten, J.Maantjes y A. Wundheiler. A partir de entonces la mayoría de las publicaciones estuvieron dedicadas al estudio de situaciones particulares o a la clasificación de los objetos geométricos. Recién en 1952, con la tesis de A. Nijenhuis, apareció un tratamiento completo de la teoría. En este trabajo el problema se encara desde un punto de vista que podríamos llamar clásico o numérico: un objeto en un punto P de una variedad M es una correspondencia que asigna a cada sistema coordenado definido en P un conjunto de N números llamados componentes. El énfasis está puesto en el hecho de que si el objeto es un objeto geométrico las transformaciones de sus componentes son representaciones del grupoide de elementos de transformaciones de la variedad M. Nuevos intentos de formular la teoría de objetos geométricos fueron hechos por Maantjes-Laman(1953) y Kuiper-Yano(1955). En ambos casos un campo de objetos geométricos es una sección de un fibrado que goza de especiales propiedades, pero en la primera de las publicaciones el espacio del objeto y el grupo de transformaciones que opera sobre él son los elementos de mayor importancia. Nosotros presentemos aquí un tratamiento funtorial de la teoría de objetos geométricos inspirada en el fibrado natural de A. Nijenhuis (1953).