Medidas en álgebras de Boole y números de intersección

Abstract

El concepto de medida en álgebras de Boole es una abstracción de la correspondiente noción de medida que surge del análisis matemático en la teoría de la medida e integración desarrollada por Lebesgue, como así también de la teoría de probabilidades. En la literatura existen varios trabajos que versan sobre el estudio de medidas en álgebras de Boole y en el que se tratan clases especiales de medidas, principalmente las denominadas medidas finitamente aditivas, contablemente aditivas y estrictamente positivas. Es importante destacar que a diferencia de la teoría clásica de la medida, las medidas consideradas en dichos trabajos asumen valores en la recta real y no en la recta extendida, es decir todos los elementos tienen medida finita. Es fácil ver que en toda álgebra de Boole siempre es posible definir una medida que sea finitamente aditiva, (ver los ejemplos dados al final de la primera sección). Un problema central en la teoría es determinar si un álgebra de Boole admite una medida contablemente aditiva o estrictamente positiva. En el trabajo J. Kelley introduce el importante concepto de número de intersección en las álgebras de Boole. A través de dicha noción el autor encuentra condiciones necesarias y suficientes para que un álgebra de Boole dada admita una medida finitamente aditiva y estrictamente positiva, como así también una medida contablemente aditiva y estrictamente positiva (Teoremas 4, 6). Es interesante destacar que en un trabajo reciente, Galvin y Prirky han generalizado el concepto de número de intersección formulando tanto esta nueva noción como la introducida por Kelley en el contexto de la teoría de grafos. En la teoría abstracta de la medida se formula la noción de conjunto medible asociado a una medida exterior. Recordemos que esta noción ha sido introducida por Carathéodory y coincide con la noción habitual de conjunto medible Lebesgue en IR". Así como es posible abstraer la noción de medida en las álgebras de Boole, también se puede introducir el concepto de medida exterior, considerando dos tipos especiales: las llamadas medidas exteriores finitamente subaditivas y contablemente subaditivas, (ver Definición 6). De este modo se puede introducir el concepto de elemento p-medible en un álgebra de Boole B, en el que p es una medida exterior definida en B, generalizando de este modo la noción de conjunto medióle. En la presente tesina se analiza con profundidad el contenido del trabajo incorporando además algunos resultados asociados al concepto de medida exterior y de elemento medible, que son el punto de partida para futuras investigaciones. Entre estos resultados se prueba en un teorema de representación para subálgebras finitas (Teorema 8).