Fases geométricas en sistemas mecánicos

Abstract

Esta tesis está dedicada al estudio de fases geométricas en sistemas mecánicos clásicos y cuánticos. En primer lugar, estudiamos el movimiento de cuerpos que rotan con momento angular no nulo y que se auto-deforman, cuando la forma es una función conocida del tiempo. Como ocurre para un cuerpo rígido, el momento angular relativo al centro de masa, visto desde un sistema rotante, describe una curva en una esfera pero, en este caso, obedece una ecuación no-autónoma y más complicada. Mostramos que, cuando esta curva es cerrada y simple en un intervalo ∆T, la orientación espacial del cuerpo que se deforma queda completamente caracterizada por un ángulo o fase θ<SUB>M</SUB>. Derivamos, además, una fórmula para este ángulo que generaliza la conocida fórmula de R. Montgomery para la fase del cuerpo rígido. Aplicamos, luego, estas técnicas a ejemplos concretos, obteniendo resultados analíticos sobre el movimiento de cuerpos que se deforman. Seguidamente, se lleva a cabo un estudio detallado de sistemas mecánicos que generalizan el caso antes mencionado. Asumimos que el espacio de configuraciones es un fibrado principal Q → Q/G y que los grados de libertad correspondientes a la base están siendo controlados. Consideramos, además, que el movimiento completo del sistema se induce desde el de la base debido a la presencia de vínculos no-holónomos. Mostramos que la solución puede ser factorizada en una parte dinámica y otra geométrica. En particular, en circunstancias cinemáticamente favorables, la parte dinámica admite una factorización adicional, ya que puede ser reconstruida a partir de una solución intermedia para el momento (referido al cuerpo), lo que da como resultado una fórmula de fases de reconstrucción. Los resultados obtenidos son aplicados al estudio de sistemas mecánicos concretos. En el último capítulo, establecemos un modo de identificar y construir los elementos geométrico-diferenciales que subyacen a las fases de Berry cuánticas. De esta manera, obtenemos una construcción genérica de los fibrados de Berry a partir de los datos físicos del sistema a estudiar. Aplicamos esta construcción a sistemas usuales y a otros recientemente investigados, y analizamos las características geométricas de las fases de Berry asociadas.

This thesis is dedicated to the study of geometric phases in classical and quantum mechanical systems. First, we study the motion of self deforming bodies with non zero angular momentum when the changing shape is known as a function of time. The conserved angular momentum with respect to the center of mass, when seen from a rotating frame, describes a curve on a sphere as it happens for the rigid body motion, though obeying a more complicated non-autonomous equation. We observe that if, after time AT, this curve is simple and closed, the deforming body 's orientation in space is fully characterized by an angle or phase Θμ· We also give a reconstruction formula for this angle which generalizes R. Montgomery 's well known formula for the rigid body phase. We also apply these techniques to obtain analytical results on the motion of deforming bodies in some concrete examples. The main chapter of this thesis consists of a detailed study of mechanical systems generalizing the deforming body case. The configuration space is assumed to be Q —&gt; Q/G for which the base Q/G variables are being controlled. The overall system's motion is considered to be induced from the base one due to the presence of general non-holonomic constraints. It is shown that the solution can be factorized into dynamical and geometrical parts. Moreover, under favorable kinematical circumstances, the dynamical part admits a further factorization since it can be reconstructed from an intermediate (body) momentum solution, yielding a reconstruction phase formula. At the end of this chapter, we apply this results to the study of concrete mechanical systems. The last chapter is a short account on the identification and construction of the differential geometric elements underlying quantum Berry's phase. Berry bundles are built generally from the physical data of the quantum system under study. We apply this construction to typical and recently investigated systems presenting Berry's phase to explore their geometric features.